Виды многогранников

Виды многогранников

Думаю, что названия геометрических тел: пирамида, призма, куб, конус, шар слышали все. А знаете ли Вы, что такое призматоид, тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, звездчатый октаэдр и малый звездчатый додекаэдр. Здесь и выговорить попробуй, а уж как они выглядят, попробуй представить…

Приглашаю в путешествие по различным видам многогранников, некоторые из которых выглядят очень интересно. Для многогранников будет приведена модель, а для некоторых еще и эпю́р (чертёж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких плоскостей. Обычно оно даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции. Чертёж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые на одну плоскости. )

1. Пирамида — это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани — треугольники  с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.1).

Пирамида - модель
Рис.1 Пирамида — модель
Рис.1 Пирамида — эпюр

2. Призма — многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис.2)

Призма - модель
Рис.2 Призма — модель
Призма - эпюр
Рис.2 Призма — эпюр

3. Призматоид — многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами  многоугольников оснований (рис.3)

Призматоид - модель
Рис.3 Призматоид — модель
Призматоид - эпюр
Рис.3 Призматоид — эпюр

4.   Тела Платона.  Многогранник, все грани которого  представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим  философом Платоном, чем и объясняется их общее название. Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр — правильный четырехгранник (рис.4). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это — правильная треугольная пирамида).

Тетраэдр - модель
Рис.4 Тетраэдр — модель
Тетраэдр - эпюр
Рис.4 Тетраэдр — эпюр

Гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 5). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Гексаэдр - модель
Рис.5 Гексаэдр — модель
Гексаэдр - эпюр
Рис.5 Гексаэдр — эпюр

Октаэдр — правильный восьмигранник (рис.6). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Октаэдр - модель
Рис.6 Октаэдр — модель
Октаэдр - эпюр
Рис. 6 Октаэдр — эпюр

Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 7).

Додекаэдр - модель
Рис.7 Додекаэдр — модель
Додекаэдр - эпюр
Рис.7 Додекаэдр — эпюр

Икосаэдр — состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.8).

Икосаэдр - модель
Рис.8 Икосаэдр — модель
Икосаэдр - эпюр
Рис.8 Икосаэдр — эпюр

5.   Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Звездчатый октаэдр — восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к октаэдру (рис. 9). Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula — восьмиугольная звезда.

Звездчатый октаэдр
Рис.9 Звездчатый октаэдр

Малый звездчатый додекаэдр — (рис.10) звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр — звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения — большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения.

Малый звездчатый додекаэдр
Рис. 10 Малый звездчатый додекаэдр

Еще больше информации о многогранниках можно почитать в статье — https://mnogogranniki.ru/platonovy-tela.html